Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u = - 4 x$ . Dann ist $d u = - 4 d x$ , folglich $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Schritt 3.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 4 x$ ein.

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u_{lower} = - 4$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 4 x$ ein.

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$u_{upper} = - 8$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 11

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 11.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 11.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 8$ und $- 4$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Schritt 13.2

Berechne $- x^{- 1}$ bei $2$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Schritt 13.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Schritt 13.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Schritt 13.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Schritt 13.3.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

Schritt 13.3.6

Um $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 13.3.7

Kombiniere $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 13.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 13.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Schritt 13.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Schritt 13.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 13.3.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Schritt 13.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Schritt 13.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Schritt 13.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Schritt 13.3.11.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

Schritt 14.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Schritt 14.3

Schreibe $- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ als $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ um.

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

Schritt 14.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

Dezimalform:

$- 0.49100991 \dots$

Schritt 16