Analysis Beispiele

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 4 x$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\sin^{5} (u_{1})$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Faktorisiere $\sin^{4} (u_{1})$ aus.

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Schreibe $\sin^{2} (u_{1})$ in $1 - \cos^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Schritt 9

Multipliziere ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 9.1

Schreibe ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ als $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ um.

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.5

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.6

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.11

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Schritt 9.13

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 9.14

Subtrahiere ${u_{2}}^{2}$ von $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 9.15

Stelle $- 2 {u_{2}}^{2}$ und ${u_{2}}^{4}$ um.

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.16

Bewege $1$ .

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Schritt 12

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

Schritt 13

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

Schritt 14

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Vereinfache.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Schritt 15.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

Schritt 15.2

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

Schritt 17

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$