Analysis Beispiele

$\int_{1}^{16} 5 + x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{16} 5 d x + \int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 2

Wende die Konstantenregel an.

$5 x]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} x^{\frac{1}{4}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ .

$5 x]_{1}^{16} + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $5 x]_{1}^{16}$ und $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$ .

$5 x + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}]_{1}^{16}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $5 x + \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}$ bei $16$ und $1$ .

$(5 \cdot 16 + \frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}}) - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 16^{\frac{5}{4}} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$80 + \frac{4}{5} \cdot {(2^{4})}^{\frac{5}{4}} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{4 (\frac{5}{4})} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$80 + \frac{4}{5} \cdot 2^{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.5

Potenziere $2$ mit $5$ .

$80 + \frac{4}{5} \cdot 32 - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.6

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $32$ .

$80 + \frac{4 \cdot 32}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $32$ .

$80 + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.8

Um $80$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$80 \cdot \frac{5}{5} + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.9

Kombiniere $80$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{80 \cdot 5}{5} + \frac{128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{80 \cdot 5 + 128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.11.1

Mutltipliziere $80$ mit $5$ .

$\frac{400 + 128}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.11.2

Addiere $400$ und $128$ .

$\frac{528}{5} - (5 \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.12

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

Schritt 4.2.2.13

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5} \cdot 1)$

Schritt 4.2.2.14

Mutltipliziere $\frac{4}{5}$ mit $1$ .

$\frac{528}{5} - (5 + \frac{4}{5})$

Schritt 4.2.2.15

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{528}{5} - (5 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5})$

Schritt 4.2.2.16

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{528}{5} - (\frac{5 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5})$

Schritt 4.2.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{528}{5} - \frac{5 \cdot 5 + 4}{5}$

Schritt 4.2.2.18

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.18.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{528}{5} - \frac{25 + 4}{5}$

Schritt 4.2.2.18.2

Addiere $25$ und $4$ .

$\frac{528}{5} - \frac{29}{5}$

Schritt 4.2.2.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{528 - 29}{5}$

Schritt 4.2.2.20

Subtrahiere $29$ von $528$ .

$\frac{499}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{499}{5}$

Dezimalform:

$99.8$

Darstellung als gemischte Zahl:

$99 \frac{4}{5}$

Schritt 6