Analysis Beispiele

$\int_{1}^{2} t^{5} - t^{3} + 1 d t$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{2} t^{5} d t + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{5}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{6} t^{6}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} t^{3} d t + \int_{1}^{2} d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{1}{4} t^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $t^{4}$ .

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} d t$

Schritt 6

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2}) + t]_{1}^{2}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{6} t^{6}]_{1}^{2}$ und $t]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{6} t^{6} + t]_{1}^{2} - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $\frac{1}{6} t^{6} + t$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - (\frac{t^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{t^{4}}{4}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{6} \cdot 2^{6} + 2) - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $2$ mit $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 64 + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $64$ .

$\frac{64}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$\frac{2 (32)}{6} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32}{3} + 2 - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.4

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.5

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{32 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{32 + 6}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.7.2

Addiere $32$ und $6$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} \cdot 1 + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + 1) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.10

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{38}{3} - (\frac{1}{6} + \frac{6}{6}) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{38}{3} - \frac{1 + 6}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.12

Addiere $1$ und $6$ .

$\frac{38}{3} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.13

Um $\frac{38}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.14.1

Mutltipliziere $\frac{38}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{38 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.14.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{38 \cdot 2}{6} - \frac{7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{38 \cdot 2 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.16

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.16.1

Mutltipliziere $38$ mit $2$ .

$\frac{76 - 7}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.16.2

Subtrahiere $7$ von $76$ .

$\frac{69}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $69$ und $6$ .

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Schritt 7.2.3.17.1

Faktorisiere $3$ aus $69$ heraus.

$\frac{3 (23)}{6} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.17.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 23}{3 \cdot 2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{23}{2} - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.18

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 7.2.3.19.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.19.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{23}{2} - (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.19.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 7.2.3.20

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{23}{2} - (4 - \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.3.21

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.3.22

Kombiniere $4$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{23}{2} - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 7.2.3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{23}{2} - \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Schritt 7.2.3.24

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.24.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{23}{2} - \frac{16 - 1}{4}$

Schritt 7.2.3.24.2

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$\frac{23}{2} - \frac{15}{4}$

Schritt 7.2.3.25

Um $\frac{23}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{4}$

Schritt 7.2.3.26

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.26.1

Mutltipliziere $\frac{23}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{23 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{15}{4}$

Schritt 7.2.3.26.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{23 \cdot 2}{4} - \frac{15}{4}$

Schritt 7.2.3.27

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{23 \cdot 2 - 15}{4}$

Schritt 7.2.3.28

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.28.1

Mutltipliziere $23$ mit $2$ .

$\frac{46 - 15}{4}$

Schritt 7.2.3.28.2

Subtrahiere $15$ von $46$ .

$\frac{31}{4}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{31}{4}$

Dezimalform:

$7.75$

Darstellung als gemischte Zahl:

$7 \frac{3}{4}$

Schritt 9