Analysis Beispiele

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 12 x + 11$ . Dann ist $d u = 12 d x$ , folglich $\frac{1}{12} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 12 x + 11$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $12 x + 11$ .

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x + 11$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $12$ und $0$ .

$12$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 12 x + 11$ ein.

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$u_{lower} = 12 + 11$

Schritt 1.3.2

Addiere $12$ und $11$ .

$u_{lower} = 23$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 12 x + 11$ ein.

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$u_{upper} = - 12 + 11$

Schritt 1.5.2

Addiere $- 12$ und $11$ .

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{2}$ und $\frac{1}{12}$ .

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{12}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $- 1$ und $23$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

Schritt 5.2.4

Potenziere $23$ mit $3$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $12167$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

Schritt 5.2.6

Kombiniere $- 12167$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

Schritt 5.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

Schritt 5.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

Schritt 5.2.9

Subtrahiere $12167$ von $- 1$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

Schritt 5.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12168$ und $3$ .

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Schritt 5.2.10.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12168$ heraus.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

Schritt 5.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

Schritt 5.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

Schritt 5.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

Schritt 5.2.10.2.4

Dividiere $- 4056$ durch $1$ .

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

Schritt 5.2.11

Kombiniere $\frac{1}{12}$ und $- 4056$ .

$\frac{- 4056}{12}$

Schritt 5.2.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4056$ und $12$ .

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Schritt 5.2.12.1

Faktorisiere $12$ aus $- 4056$ heraus.

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

Schritt 5.2.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.12.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

Schritt 5.2.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

Schritt 5.2.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 338}{1}$

Schritt 5.2.12.2.4

Dividiere $- 338$ durch $1$ .

$- 338$

Schritt 6