Analysis Beispiele

$\int_{- 1}^{1} e^{u + 1} d u$

Schritt 1

Sei $u_{1} = u + 1$ . Dann ist $d u_{1} = d u$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = u + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u + 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 1.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $u$ in $u_{1} = u + 1$ ein.

$u_{lower} = - 1 + 1$

Schritt 1.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $u$ in $u_{1} = u + 1$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{2} e^{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 2

Das Integral von $e^{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}}]_{0}^{2}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $e^{u_{1}}$ bei $2$ und $0$ .

$(e^{2}) - e^{0}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$e^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e^{2} - 1$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{2} - 1$

Dezimalform:

$6.38905609 \dots$

Schritt 5