Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 5.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Schritt 5.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Schritt 9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ bei $π$ und $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Schritt 10.2

Berechne $\sin (u)$ bei $2 π$ und $0$ .

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 10.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.4

Addiere $- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ und $0$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

Schritt 10.3.5

Um $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 10.3.6

Kombiniere $\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Schritt 10.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

Schritt 10.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Schritt 10.3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 10.3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Schritt 10.3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Schritt 10.3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Schritt 10.3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

Schritt 11.3

Addiere $\sin (2 π)$ und $0$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

Schritt 11.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 π)$ .

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Schritt 11.5

Mutltipliziere $\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

Schritt 11.6

Kombinieren.

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

Schritt 11.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 π \cos (2 π)$ heraus.

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

Schritt 11.12

Faktorisiere $- 1$ aus $\sin (2 π)$ heraus.

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

Schritt 11.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ heraus.

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Schritt 11.14

Schreibe $- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ als $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ um.

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

Schritt 11.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

Schritt 12.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

Schritt 12.4

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

Schritt 12.5

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- \frac{2 π - 0}{4}$

Schritt 12.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{2 π + 0}{4}$

Schritt 12.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 π + 0$ und $4$ .

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Schritt 12.7.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

Schritt 12.7.2

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

Schritt 12.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (π) + 2 (0)$ heraus.

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

Schritt 12.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

Schritt 12.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

Schritt 12.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{π + 0}{2}$

Schritt 12.8

Addiere $π$ und $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{π}{2}$

Dezimalform:

$- 1.57079632 \dots$