Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

Schritt 4

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 4.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 π$

Schritt 4.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

Schritt 4.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ bei $π$ und $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

Schritt 9.2

Berechne $- \cos (u)$ bei $3 π$ und $0$ .

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sin (0)$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.5

Addiere $\frac{π \sin (3 π)}{3}$ und $0$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

Schritt 9.3.6

Um $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.3.7

Kombiniere $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Schritt 9.3.10

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Schritt 9.3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $9$ .

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Schritt 9.3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Schritt 9.3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Schritt 9.3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Schritt 9.3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Schritt 9.3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

Schritt 10

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Schritt 11.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Schritt 11.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

Schritt 11.5

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

Schritt 11.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

Schritt 11.7

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

Schritt 11.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

Schritt 11.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

Schritt 11.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

Schritt 11.11

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 11.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

Schritt 11.11.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

Schritt 11.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

Schritt 11.13

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von $0$ .

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

Schritt 11.14

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 11.15

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 11.15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

Schritt 11.15.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{2}{9}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{9}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{2}$