Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} x + \sin (x) d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{π} x d x + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \sin (x) d x$

Schritt 3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π} + - \cos (x)]_{0}^{π}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{π}$ und $- \cos (x)]_{0}^{π}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \cos (x)]_{0}^{π}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{1}{2} x^{2} - \cos (x)$ bei $π$ und $0$ .

$(\frac{1}{2} π^{2} - \cos (π)) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \cos (0))$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} - \cos (0))$

Schritt 4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (\frac{1}{2} \cdot 0 - \cos (0))$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - (0 - \cos (0))$

Schritt 4.2.2.4

Subtrahiere $\cos (0)$ von $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) - - \cos (0)$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + 1 \cos (0)$

Schritt 4.2.2.6

Mutltipliziere $\cos (0)$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + \cos (0)$

Schritt 4.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (π) + 1$

Schritt 4.4

Vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$\frac{π^{2}}{2} - - \cos (0) + 1$

Schritt 4.4.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - (- 1 \cdot 1) + 1$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - - 1 + 1$

Schritt 4.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} + 1 + 1$

Schritt 4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} + 2$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{π^{2}}{2} + 2$

Dezimalform:

$6.93480220 \dots$