Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} \sin (4 x) d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 1.1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x$ ein.

$u_{upper} = 4 π$

Schritt 1.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

Schritt 1.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

Schritt 5

Berechne $- \cos (u)$ bei $4 π$ und $0$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

Schritt 6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

Schritt 7.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (- 1 + 1)$

Schritt 7.4

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $0$ .

$0$