Analysis Beispiele

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

Schritt 1

Sei $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Dann ist $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ , folglich $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + \cos (7 t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \cos (7 t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 7 t$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $7 t$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

Schritt 1.1.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

Schritt 1.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 t$ .

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

Schritt 1.1.3.2

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 t$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$0 - 7 \sin (7 t)$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $7 \sin (7 t)$ von $0$ .

$- 7 \sin (7 t)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ ein.

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

Schritt 1.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{lower} = 2$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ ein.

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

Schritt 1.5.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

Schritt 1.5.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Schritt 2.2

Kombiniere ${u_{2}}^{2}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ bei $0$ und $2$ .

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

Schritt 6.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

Schritt 6.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

Schritt 6.2.7

Subtrahiere $\frac{8}{3}$ von $0$ .

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $1$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

Schritt 6.2.10

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$\frac{8}{21}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{8}{21}$

Dezimalform:

$0.\overline{380952}$