Analysis Beispiele

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{2} + \sqrt{s}}{s^{2}} d s$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{s}$ als $s^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{2} + s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $s^{\frac{1}{2}}$ aus $s^{2} + s^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $s^{\frac{1}{2}}$ aus $s^{2}$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}}}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.2.3

Faktorisiere $s^{\frac{1}{2}}$ aus $s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{3}{2}} + 1)}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.3

Schreibe $s^{\frac{3}{2}}$ als ${(s^{\frac{1}{2}})}^{3}$ um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ({(s^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1)}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.4

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ({(s^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1^{3})}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.5

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = s^{\frac{1}{2}}$ und $b = 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) ({(s^{\frac{1}{2}})}^{2} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.6.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s^{\frac{1}{2} \cdot 2} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s^{\frac{1}{2} \cdot 2} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.6.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s^{1} - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1^{2}))}{s^{2}} d s$

Schritt 1.1.6.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} ((s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1))}{s^{2}} d s$

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{s^{\frac{1}{2}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2}} d s$

Schritt 1.2

Bringe $s^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2} s^{- \frac{1}{2}}} d s$

Schritt 1.3

Multipliziere $s^{2}$ mit $s^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2 - \frac{1}{2}}} d s$

Schritt 1.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d s$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d s$

Schritt 1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d s$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{4 - 1}{2}}} d s$

Schritt 1.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} \frac{(s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)}{s^{\frac{3}{2}}} d s$

Schritt 2

Bringe $s^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) {(s^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d s$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(s^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d s$

Schritt 3.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d s$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{\frac{- 3}{2}} d s$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} + 1) (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} (s - s^{\frac{1}{2}} + 1) + 1 (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} (s - s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (s - s^{\frac{1}{2}} + 1)) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 (s - s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} + (1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} (s^{\frac{1}{2}} s + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}})) s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + (1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.8

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + (1 s + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) + 1 \cdot 1) s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.9

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.11

Stelle $s^{\frac{1}{2}}$ und $- 1$ um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + s^{\frac{1}{2}} \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.12

Stelle $s^{\frac{1}{2}}$ und $1$ um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s \cdot s^{- \frac{3}{2}} - 1 \cdot s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 (- s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.13

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2}} s^{1} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2} + 1} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.15

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{1 + 2}{2}} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.17

Addiere $1$ und $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{3}{2}} s^{- \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{3 - 3}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.20

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{0}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.21

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 4.21.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{2 (0)}{2}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.21.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.21.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.21.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.21.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{0}{1}} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.21.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{0} - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.22

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.23

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - (s^{\frac{1}{2}} s^{\frac{1}{2}}) s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.24

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{1 + 1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.26

Addiere $1$ und $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{2}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.27

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.27.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.27.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{1} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.28

Vereinfache.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.29

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - (s \cdot s^{- \frac{3}{2}}) + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.30

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - (s^{1} s^{- \frac{3}{2}}) + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.31

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{1 - \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.32

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.33

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{2 - 3}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.34

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.35

Mutltipliziere $s^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.36

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.37

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.38

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{- 2}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.39

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.39.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.39.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.39.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.39.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.39.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{\frac{- 1}{1}} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.39.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + 1 s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.40

Mutltipliziere $s$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s \cdot s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.41

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{1} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.42

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{1 - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.43

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.44

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{2 - 3}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.45

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + 1 \cdot - 1 s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.46

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.47

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - (s^{\frac{1}{2}} s^{- \frac{3}{2}}) + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.48

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.49

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{1 - 3}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.50

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{- 2}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.51

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.51.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.51.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.51.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.51.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.51.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{\frac{- 1}{1}} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.51.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + 1 \cdot 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.52

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + 1 s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.53

Mutltipliziere $s^{- \frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 1 - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.54

Stelle $1$ und $- s^{\frac{- 1}{2}}$ um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 + s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.55

Bewege $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} - s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- 1} + 1 + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.56

Stelle $- s^{\frac{- 1}{2}}$ und $s^{- 1}$ um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 + s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.57

Stelle $s^{\frac{- 1}{2}}$ und $- s^{- 1}$ um.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 - s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} d s$

Schritt 4.58

Bewege $1$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{\frac{- 1}{2}} - s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} + 1 d s$

Schritt 4.59

Bewege $- s^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- 1} - s^{- 1} + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Schritt 4.60

Subtrahiere $s^{- 1}$ von $s^{- 1}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} 0 + s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Schritt 4.61

Addiere $0$ und $s^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{\frac{- 1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{\frac{- 1}{2}} + 1 d s$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{1}{2}} + s^{- \frac{3}{2}} - s^{- \frac{1}{2}} + 1 d s$

Schritt 5.3

Subtrahiere $s^{- \frac{1}{2}}$ von $s^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{3}{2}} + 0 + 1 d s$

Schritt 5.4

Addiere $s^{- \frac{3}{2}}$ und $0$ .

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{3}{2}} + 1 d s$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{\sqrt{11}} s^{- \frac{3}{2}} d s + \int_{1}^{\sqrt{11}} d s$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $s^{- \frac{3}{2}}$ nach $s$ gleich $- 2 s^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 s^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{\sqrt{11}} + \int_{1}^{\sqrt{11}} d s$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$- 2 s^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{\sqrt{11}} + s]_{1}^{\sqrt{11}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Kombiniere $- 2 s^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{\sqrt{11}}$ und $s]_{1}^{\sqrt{11}}$ .

$- 2 s^{- \frac{1}{2}} + s]_{1}^{\sqrt{11}}$

Schritt 9.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Berechne $- 2 s^{- \frac{1}{2}} + s$ bei $\sqrt{11}$ und $1$ .

$(- 2 {\sqrt{11}}^{- \frac{1}{2}} + \sqrt{11}) - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Schritt 9.2.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Schritt 9.2.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Schritt 9.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}} + 1)$

Schritt 9.2.2.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 \cdot 1 + 1)$

Schritt 9.2.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - (- 2 + 1)$

Schritt 9.2.2.6

Addiere $- 2$ und $1$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} - - 1$

Schritt 9.2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} + 1$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{{\sqrt{11}}^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{11} + 1$

Dezimalform:

$3.21842381 \dots$

Schritt 11