Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} 3 \sqrt{4 u + 1} d u$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{0}^{2} \sqrt{4 u + 1} d u$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 4 u + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 4 d u$ , folglich $\frac{1}{4} d u_{1} = d u$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 4 u + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [4 u + 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 u + 1$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d u} [4 u]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $4 u$ nach $u$ gleich $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$4 \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d u} [1]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $u$ in $u_{1} = 4 u + 1$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 2.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $u$ in $u_{1} = 4 u + 1$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 2 + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Schritt 2.5.2

Addiere $8$ und $1$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1}$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt{u_{1}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$3 \int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u_{1}}}{4} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1})$

Schritt 5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3}{4} \int_{1}^{9} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{4} \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ bei $9$ und $1$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$\frac{3}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $3$ .

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Schritt 7.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $54$ heraus.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.7.2.4

Dividiere $18$ durch $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Schritt 7.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Schritt 7.2.10

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 7.2.11

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 7.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Schritt 7.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.13.1

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Schritt 7.2.13.2

Subtrahiere $2$ von $54$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Schritt 7.2.14

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{52}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 52}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $52$ .

$\frac{156}{4 \cdot 3}$

Schritt 7.2.16

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{156}{12}$

Schritt 7.2.17

Kürze den gemeinsamen Teiler von $156$ und $12$ .

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Schritt 7.2.17.1

Faktorisiere $12$ aus $156$ heraus.

$\frac{12 \cdot 13}{12}$

Schritt 7.2.17.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.17.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 \cdot 13}{12 (1)}$

Schritt 7.2.17.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot 13}{12 \cdot 1}$

Schritt 7.2.17.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{13}{1}$

Schritt 7.2.17.2.4

Dividiere $13$ durch $1$ .

$13$

Schritt 8