Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} e^{- 7 x} d x$

Schritt 1

Sei $u = - 7 x$ . Dann ist $d u = - 7 d x$ , folglich $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - 7 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

Schritt 1.1.2

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 7$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - 7 x$ ein.

$u_{lower} = - 7 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - 7 x$ ein.

$u_{upper} = - 7 \cdot 3$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$u_{upper} = - 21$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 21$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{- 21} - \frac{e^{u}}{7} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{0}^{- 21} \frac{e^{u}}{7} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{7} \int_{0}^{- 21} e^{u} d u)$

Schritt 5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- \frac{1}{7} e^{u}]_{0}^{- 21}$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $e^{u}$ bei $- 21$ und $0$ .

$- \frac{1}{7} ((e^{- 21}) - e^{0})$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1 \cdot 1)$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{7} e^{- 21} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Schritt 7.2

Kombiniere $e^{- 21}$ und $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

Schritt 7.3

Multipliziere $- \frac{1}{7} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + 1 (\frac{1}{7})$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $1$ .

$- \frac{e^{- 21}}{7} + \frac{1}{7}$

Schritt 7.4

Bringe $e^{- 21}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

Dezimalform:

$0.14285714 \dots$

Schritt 9