Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} t \sqrt{25 - t^{2}} d t$

Schritt 1

Sei $u = 25 - t^{2}$ . Dann ist $d u = - 2 t d t$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 25 - t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $25 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [25 - t^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $25$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 t$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $2 t$ von $0$ .

$- 2 t$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 25 - t^{2}$ ein.

$u_{lower} = 25 - 0^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 25 - 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 25 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $25$ und $0$ .

$u_{lower} = 25$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 25 - t^{2}$ ein.

$u_{upper} = 25 - 5^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$u_{upper} = 25 - 1 \cdot 25$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$u_{upper} = 25 - 25$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $25$ von $25$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{25}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{25}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{25}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{25}^{0} \sqrt{u} d u)$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{1}{2} \int_{25}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{25}^{0}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $0$ und $25$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.6

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 7.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 7.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})})$

Schritt 7.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 5^{3})$

Schritt 7.2.9

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 125)$

Schritt 7.2.10

Mutltipliziere $125$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 125 (\frac{2}{3}))$

Schritt 7.2.11

Kombiniere $- 125$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 125 \cdot 2}{3})$

Schritt 7.2.12

Mutltipliziere $- 125$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 250}{3})$

Schritt 7.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{250}{3})$

Schritt 7.2.14

Subtrahiere $\frac{250}{3}$ von $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{250}{3})$

Schritt 7.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{250}{3}$

Schritt 7.2.16

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

Schritt 7.2.17

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.18

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{250}{6}$

Schritt 7.2.19

Kürze den gemeinsamen Teiler von $250$ und $6$ .

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Schritt 7.2.19.1

Faktorisiere $2$ aus $250$ heraus.

$\frac{2 (125)}{6}$

Schritt 7.2.19.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.19.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

Schritt 7.2.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{125}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{125}{3}$

Dezimalform:

$41.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$41 \frac{2}{3}$

Schritt 9