Analysis Beispiele

$\int_{0}^{5} 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{5} \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

$4 \int_{0}^{5} x^{\frac{2}{3}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{0}^{5})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{3}{5}$ und $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{0}^{5})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ bei $5$ und $0$ .

$4 ((\frac{3 \cdot 5^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Bringe $5^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{5}{3}} \cdot 5^{- 1} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $5^{\frac{5}{3}}$ mit $5^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.2.1

Bewege $5^{- 1}$ .

$4 (3 \cdot (5^{- 1} \cdot 5^{\frac{5}{3}}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (3 \cdot 5^{- 1 + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{- 3 + 5}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.2.6.2

Addiere $- 3$ und $5$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

Schritt 4.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 4.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

Schritt 4.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0^{5}}{5})$

Schritt 4.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{3 \cdot 0}{5})$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{5})$

Schritt 4.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 4.2.2.8.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 (0)}{5})$

Schritt 4.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} - 0)$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}} + 0)$

Schritt 4.2.2.10

Addiere $3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$ und $0$ .

$4 (3 \cdot 5^{\frac{2}{3}})$

Schritt 4.2.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$12 \cdot 5^{\frac{2}{3}}$

Dezimalform:

$35.08821285 \dots$

Schritt 6