Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4.192} 120 \sin (2 t) d t$

Schritt 1

Da $120$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $120$ aus dem Integral.

$120 \int_{0}^{4.192} \sin (2 t) d t$

Schritt 2

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 4.192$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $4.192$ .

$u_{upper} = 8.384$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8.384$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$120 \int_{0}^{8.384} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$120 \int_{0}^{8.384} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$120 (\frac{1}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $120$ .

$\frac{120}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $120$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $120$ heraus.

$\frac{2 \cdot 60}{2} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 60}{2 (1)} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{60}{1} \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $60$ durch $1$ .

$60 \int_{0}^{8.384} \sin (u) d u$

Schritt 6

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$60 (- \cos (u)]_{0}^{8.384})$

Schritt 7

Berechne $- \cos (u)$ bei $8.384$ und $0$ .

$60 (- \cos (8.384) + \cos (0))$

Schritt 8

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$60 (- \cos (8.384) + 1)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$60 (- \cos (8.384)) + 60 \cdot 1$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $60$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60 \cdot 1$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $60$ mit $1$ .

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 60 \cos (8.384) + 60$

Dezimalform:

$90.33295124 \dots$