Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} 4 \sqrt{x} d x$

Schritt 1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ bei $4$ und $0$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Schritt 4.2.2.7

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 4.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Schritt 4.2.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Schritt 4.2.2.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Schritt 4.2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$4 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3})$

Schritt 4.2.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Schritt 4.2.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.11.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (\frac{16}{3} - 0)$

Schritt 4.2.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (\frac{16}{3} + 0)$

Schritt 4.2.2.13

Addiere $\frac{16}{3}$ und $0$ .

$4 (\frac{16}{3})$

Schritt 4.2.2.14

Kombiniere $4$ und $\frac{16}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{3}$

Schritt 4.2.2.15

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{64}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{64}{3}$

Dezimalform:

$21.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$21 \frac{1}{3}$

Schritt 6