Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

Schritt 1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Schritt 3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

Schritt 4

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{lower} = - 0$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 4.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = - x$ ein.

$u_{upper} = - \ln (2)$

Schritt 4.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

Schritt 4.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $e^{x}$ bei $\ln (2)$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

Schritt 7.2

Berechne $e^{u}$ bei $- \ln (2)$ und $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Schritt 7.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Schritt 7.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

Schritt 7.3.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

Schritt 7.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1.1

Vereinfache $- \ln (2)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

Schritt 8.1.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

Schritt 8.1.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

Schritt 8.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

Schritt 8.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

Schritt 8.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

Schritt 8.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

Schritt 8.1.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

Schritt 8.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

Schritt 8.1.7

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

Schritt 8.1.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

Schritt 8.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 8.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

Schritt 8.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$

Schritt 10