Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

Schritt 2

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 3 x$ ein.

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache $3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

Schritt 2.5.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $e^{u}$ bei $\ln (8)$ und $0$ .

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

Schritt 7.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

Schritt 7.2.4

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\frac{2}{3} \cdot 7$

Schritt 7.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $7$ .

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

Schritt 7.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{14}{3}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{14}{3}$

Dezimalform:

$4.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$4 \frac{2}{3}$

Schritt 9