Analysis Beispiele

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{upper} = 1 + 8$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $8$ .

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Schritt 2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{u}$ als $u^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Schritt 2.2

Bringe $u^{\frac{1}{4}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ bei $9$ und $1$ .

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $9^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

Schritt 4.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Dezimalform:

$5.59486989 \dots$

Schritt 6