Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 5 x e^{2 x} d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{1} x e^{2 x} d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{2 x}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} e^{2 x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$5 (x \frac{e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 x}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{2 x} d x))$

Schritt 5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u} d u))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{2} e^{u} d u)$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{2})$

Schritt 10

Kombiniere $e^{u}]_{0}^{2}$ und $\frac{1}{4}$ .

$5 (\frac{x e^{2 x}}{2}]_{0}^{1} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Schritt 11

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.1

Berechne $\frac{x e^{2 x}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{2}}{4})$

Schritt 11.2

Berechne $e^{u}$ bei $2$ und $0$ .

$5 ((\frac{1 e^{2 \cdot 1}}{2}) - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3

Vereinfache.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 (\frac{1 e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 11.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} + 0 - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.8

Addiere $\frac{e^{2}}{2}$ und $0$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{(e^{2}) - e^{0}}{4})$

Schritt 11.3.9

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1 \cdot 1}{4})$

Schritt 11.3.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Schritt 11.3.11

Um $\frac{e^{2}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Schritt 11.3.12

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 11.3.12.1

Mutltipliziere $\frac{e^{2}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Schritt 11.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$5 (\frac{e^{2} \cdot 2}{4} - \frac{e^{2} - 1}{4})$

Schritt 11.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 \frac{e^{2} \cdot 2 - (e^{2} - 1)}{4}$

Schritt 11.3.14

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2}$ .

$5 \frac{2 \cdot e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$

Schritt 11.3.15

Kombiniere $5$ und $\frac{2 e^{2} - (e^{2} - 1)}{4}$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - (e^{2} - 1))}{4}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} - - 1)}{4}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5 (2 e^{2} - e^{2} + 1)}{4}$

Schritt 12.3

Subtrahiere $e^{2}$ von $2 e^{2}$ .

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5 (e^{2} + 1)}{4}$

Dezimalform:

$10.48632012 \dots$

Schritt 14