Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 13 \sqrt[13]{x} d x$

Schritt 1

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $13$ aus dem Integral.

$13 \int_{0}^{1} \sqrt[13]{x} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[13]{x}$ als $x^{\frac{1}{13}}$ neu zu schreiben.

$13 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{13}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{13}}$ nach $x$ gleich $\frac{13}{14} x^{\frac{14}{13}}$ .

$13 (\frac{13}{14} x^{\frac{14}{13}}]_{0}^{1})$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{13}{14}$ und $x^{\frac{14}{13}}$ .

$13 (\frac{13 x^{\frac{14}{13}}}{14}]_{0}^{1})$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{13 x^{\frac{14}{13}}}{14}$ bei $1$ und $0$ .

$13 ((\frac{13 \cdot 1^{\frac{14}{13}}}{14}) - \frac{13 \cdot 0^{\frac{14}{13}}}{14})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$13 (\frac{13 \cdot 1}{14} - \frac{13 \cdot 0^{\frac{14}{13}}}{14})$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $1$ .

$13 (\frac{13}{14} - \frac{13 \cdot 0^{\frac{14}{13}}}{14})$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{13}$ um.

$13 (\frac{13}{14} - \frac{13 \cdot {(0^{13})}^{\frac{14}{13}}}{14})$

Schritt 4.2.2.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13 (\frac{13}{14} - \frac{13 \cdot 0^{13 (\frac{14}{13})}}{14})$

Schritt 4.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $13$ .

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Schritt 4.2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 (\frac{13}{14} - \frac{13 \cdot 0^{13 (\frac{14}{13})}}{14})$

Schritt 4.2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$13 (\frac{13}{14} - \frac{13 \cdot 0^{14}}{14})$

Schritt 4.2.2.6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$13 (\frac{13}{14} - \frac{13 \cdot 0}{14})$

Schritt 4.2.2.7

Mutltipliziere $13$ mit $0$ .

$13 (\frac{13}{14} - \frac{0}{14})$

Schritt 4.2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $14$ .

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Schritt 4.2.2.8.1

Faktorisiere $14$ aus $0$ heraus.

$13 (\frac{13}{14} - \frac{14 (0)}{14})$

Schritt 4.2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.8.2.1

Faktorisiere $14$ aus $14$ heraus.

$13 (\frac{13}{14} - \frac{14 \cdot 0}{14 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$13 (\frac{13}{14} - \frac{14 \cdot 0}{14 \cdot 1})$

Schritt 4.2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$13 (\frac{13}{14} - \frac{0}{1})$

Schritt 4.2.2.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$13 (\frac{13}{14} - 0)$

Schritt 4.2.2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$13 (\frac{13}{14} + 0)$

Schritt 4.2.2.10

Addiere $\frac{13}{14}$ und $0$ .

$13 (\frac{13}{14})$

Schritt 4.2.2.11

Kombiniere $13$ und $\frac{13}{14}$ .

$\frac{13 \cdot 13}{14}$

Schritt 4.2.2.12

Mutltipliziere $13$ mit $13$ .

$\frac{169}{14}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{169}{14}$

Dezimalform:

$12.07142857 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$12 \frac{1}{14}$

Schritt 6