Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x e^{- 9 x^{2}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - 18 x e^{- 9 x^{2}} d x$ , folglich $- \frac{1}{18} d u_{2} = x e^{- 9 x^{2}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $e^{- 9 x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 9 x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- 9 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- 9 x^{2}$ .

$e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Stelle die Faktoren von $e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)$ um.

$- 18 e^{- 9 x^{2}} x$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- 18 e^{- 9 x^{2}} x$ um.

$- 18 x e^{- 9 x^{2}}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ ein.

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = e^{- 9 \cdot 0}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Schritt 1.3.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = e^{- 9 x^{2}}$ ein.

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1^{2}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = e^{- 9 \cdot 1}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$u_{upper} = e^{- 9}$

Schritt 1.5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{9}}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} \frac{1}{- 18} d u_{2}$

Schritt 2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int_{1}^{\frac{1}{e^{9}}} - \frac{1}{18} d u_{2}$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{18} u_{2}]_{1}^{\frac{1}{e^{9}}}$

Schritt 4

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.1

Berechne $- \frac{1}{18} u_{2}$ bei $\frac{1}{e^{9}}$ und $1$ .

$(- \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{e^{9}}) + \frac{1}{18} \cdot 1$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{9}}$ mit $\frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{e^{9} \cdot 18} + \frac{1}{18} \cdot 1$

Schritt 4.2.2

Bringe $18$ auf die linke Seite von $e^{9}$ .

$- \frac{1}{18 \cdot e^{9}} + \frac{1}{18} \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{18}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{18 e^{9}} + \frac{1}{18}$

Dezimalform:

$0.05554869 \dots$

Schritt 6