Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

Schritt 1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{10}$ .

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 3.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{2} + 1$ ein.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 3.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 3.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Kombiniere $u^{10}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ mit $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{10}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{11} u^{11}$ bei $2$ und $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Potenziere $2$ mit $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $\frac{1}{11}$ und $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Schritt 8.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Schritt 8.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Schritt 8.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Schritt 8.2.6

Subtrahiere $1$ von $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2047}{11}$

Dezimalform:

$186.\overline{09}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$186 \frac{1}{11}$

Schritt 10