Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x^{2} + 3 x + 1} d x$

Schritt 2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 2.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1}{2 x^{2} + 3 (x) + 1}$

Schritt 2.1.1.1.2

Schreibe $3$ um als $1$ plus $2$

$\frac{1}{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}$

Schritt 2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}$

Schritt 2.1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 x^{2} + x + 2 x + 1}$

Schritt 2.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{1}{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}$

Schritt 2.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{1}{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) (x + 1)}$

Schritt 2.1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Schritt 2.1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$

Schritt 2.1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (2 x + 1) (x + 1)}{(2 x + 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 2.1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (2 x + 1) (x + 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.1.2

Dividiere $(A) (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x + A + \frac{(B) (2 x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Schritt 2.1.7.4.2

Dividiere $(B) (2 x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A x + A + (B) (2 x + 1)$

Schritt 2.1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A + B (2 x) + B \cdot 1$

Schritt 2.1.7.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A x + A + 2 B x + B \cdot 1$

Schritt 2.1.7.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A x + A + 2 B x + B$

Schritt 2.1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.8.1

Bewege $B$ .

$1 = A x + A + 2 x B + B$

Schritt 2.1.8.2

Bewege $A$ .

$1 = A x + 2 x B + A + B$

Schritt 2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + 2 B$

Schritt 2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 2.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = A + 2 B$

$1 = A + B$

Schritt 2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.1

Löse in $0 = A + 2 B$ nach $A$ auf.

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + 2 B = 0$ um.

$A + 2 B = 0$

$1 = A + B$

Schritt 2.3.1.2

Subtrahiere $2 B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

$A = - 2 B$

$1 = A + B$

Schritt 2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $- 2 B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $1 = A + B$ durch $- 2 B$ .

$1 = (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Addiere $- 2 B$ und $B$ .

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

$1 = - B$

$A = - 2 B$

Schritt 2.3.3

Löse in $1 = - B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- B = 1$ um.

$- B = 1$

$A = - 2 B$

Schritt 2.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- B = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- B = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Schritt 2.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - 2 B$

Schritt 2.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

$B = - 1$

$A = - 2 B$

Schritt 2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = - 2 B$ durch $- 1$ .

$A = - 2 \cdot - 1$

$B = - 1$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Schritt 2.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 2, B = - 1$

Schritt 2.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{2}{2 x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int_{0}^{1} \frac{2}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2 x + 1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 5

Sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = 2 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 5.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Schritt 5.5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$u_{upper} = 3$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$2 (2 \int_{1}^{3} \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{2}{2} \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (1 \int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ mit $1$ .

$2 (\int_{1}^{3} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x)$

Schritt 11

Sei $u_{2} = x + 1$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 11.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 11.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{2} = x + 1$ ein.

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 11.3

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 11.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{2} = x + 1$ ein.

$u_{upper} = 1 + 1$

Schritt 11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$u_{upper} = 2$

Schritt 11.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Schritt 11.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |)]_{1}^{3} - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Schritt 13

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 13.1

Berechne $\ln (| u_{1} |)$ bei $3$ und $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - (\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}))$

Schritt 13.2

Berechne $\ln (| u_{2} |)$ bei $2$ und $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |) - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |)))$

Schritt 13.3

Entferne die Klammern.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)))$

Schritt 14.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 (\ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}))$

Schritt 14.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Schritt 14.4

Schreibe $\frac{\frac{| 3 |}{| 1 |}}{\frac{| 2 |}{| 1 |}}$ als ein Produkt um.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{1}{\frac{| 2 |}{| 1 |}})$

Schritt 14.5

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{| 2 |}{| 1 |}$ zu dividieren.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} (1 \frac{| 1 |}{| 2 |}))$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ mit $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |} \cdot \frac{| 1 |}{| 2 |})$

Schritt 14.7

Mutltipliziere $\frac{| 3 |}{| 1 |}$ mit $\frac{| 1 |}{| 2 |}$ .

$2 \ln (\frac{| 3 | | 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Schritt 14.8

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$2 \ln (\frac{| 3 \cdot 1 |}{| 1 | | 2 |})$

Schritt 14.9

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 | | 2 |})$

Schritt 14.10

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 \cdot 2 |})$

Schritt 14.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

Schritt 15.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 \ln (\frac{3}{2})$

Dezimalform:

$0.81093021 \dots$

Schritt 17