Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{4} - 1$ . Dann ist $d u = 4 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{4} - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{4} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$4 x^{3}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{4} - 1$ ein.

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{4} - 1$ ein.

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Schritt 2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $u$ .

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Schritt 4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

Schritt 5

Berechne $\ln (| u |)$ bei $0$ und $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

Schritt 6.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

Schritt 7.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

Schritt 7.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{\ln (0)}{4}$

Schritt 7.4

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\ln (0)}{4}$

Schritt 8

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert