Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} v^{2} \cos (v^{3}) d v$

Schritt 1

Sei $u = v^{3}$ . Dann ist $d u = 3 v^{2} d v$ , folglich $\frac{1}{3} d u = v^{2} d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = v^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $v^{3}$ .

$\frac{d}{d v} [v^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 v^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $v$ in $u = v^{3}$ ein.

$u_{lower} = 0^{3}$

Schritt 1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $v$ in $u = v^{3}$ ein.

$u_{upper} = 1^{3}$

Schritt 1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{1} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{\cos (u)}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{1}$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $1$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - \sin (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) - 0)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (1) + 0)$

Schritt 6.3

Addiere $\sin (1)$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \sin (1)$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (1)$ .

$\frac{\sin (1)}{3}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\sin (1)$ .

$\frac{0.84147098}{3}$

Schritt 7.2

Dividiere $0.84147098$ durch $3$ .

$0.28049032$