Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} x^{e} + e^{x} d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{e} d x + \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{e}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Schritt 3

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1} + e^{x}]_{0}^{1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1}]_{0}^{1}$ und $e^{x}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{e + 1} x^{e + 1} + e^{x}]_{0}^{1}$

Schritt 4.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Berechne $\frac{1}{e + 1} x^{e + 1} + e^{x}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{e + 1} \cdot 1^{e + 1} + e^{1}) - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{e + 1} \cdot 1 + e^{1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e + 1}$ mit $1$ .

$\frac{1}{e + 1} + e^{1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache.

$\frac{1}{e + 1} + e - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Schritt 4.2.2.4

Um $e$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e + 1}{e + 1}$ .

$\frac{1}{e + 1} + \frac{e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Schritt 4.2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{1}{e + 1} \cdot 0^{e + 1} + e^{0})$

Schritt 4.2.2.6

Kombiniere $\frac{1}{e + 1}$ und $0^{e + 1}$ .

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + e^{0})$

Schritt 4.2.2.7

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + 1)$

Schritt 4.2.2.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - (\frac{0^{e + 1}}{e + 1} + \frac{e + 1}{e + 1})$

Schritt 4.2.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + e (e + 1)}{e + 1} - \frac{0^{e + 1} + e + 1}{e + 1}$

Schritt 4.2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + e (e + 1) - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + e e + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Schritt 5.2

Multipliziere $e e$ .

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Schritt 5.2.1

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{1 + e^{1} e + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $e$ mit $1$ .

$\frac{1 + e^{1} e^{1} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + e^{1 + 1} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e \cdot 1 - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $e$ mit $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e - (0^{e + 1} + e + 1)}{e + 1}$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e - 1 \cdot 1}{e + 1}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e - 1}{e + 1}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0 + e^{2} + e - 0^{e + 1} - e}{e + 1}$

Schritt 5.7

Addiere $0$ und $e^{2}$ .

$\frac{e^{2} + e - 0^{e + 1} - e}{e + 1}$

Schritt 5.8

Subtrahiere $e$ von $e$ .

$\frac{e^{2} + 0 - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Schritt 5.9

Addiere $e^{2}$ und $0$ .

$\frac{e^{2} - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{e^{2} - 0^{e + 1}}{e + 1}$

Dezimalform:

$1.98722324 \dots$

Schritt 7