Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} - 4 x + 8 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} 5 x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 4 x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Schritt 5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 8 d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

Schritt 7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 8 d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$5 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 8 x]_{0}^{1}$

Schritt 9.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 8 x]_{0}^{1}$

Schritt 9.3

Berechne $8 x$ bei $1$ und $0$ .

$5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 9.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$5 (\frac{1}{3} - 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$5 (\frac{1}{3} + 0) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.5

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$5 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.6

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 9.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.9.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} - 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2} + 0) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.11

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{5}{3} - 4 (\frac{1}{2}) + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 4}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 9.4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.4.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{3} + \frac{- 2}{1} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.13.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$\frac{5}{3} - 2 + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.14

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.15

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 2 \cdot 3}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.17.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{5 - 6}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.17.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$\frac{- 1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.18

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} + (8 \cdot 1) - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.19

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} + 8 - 8 \cdot 0$

Schritt 9.4.20

Mutltipliziere $- 8$ mit $0$ .

$- \frac{1}{3} + 8 + 0$

Schritt 9.4.21

Addiere $8$ und $0$ .

$- \frac{1}{3} + 8$

Schritt 9.4.22

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.4.23

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 8 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.25

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.4.25.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{- 1 + 24}{3}$

Schritt 9.4.25.2

Addiere $- 1$ und $24$ .

$\frac{23}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{23}{3}$

Dezimalform:

$7.\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$7 \frac{2}{3}$

Schritt 11