Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (y) d y$

Schritt 1

Das Integral von $\sec (y)$ nach $y$ ist $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ .

$\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Schritt 2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1

Berechne $\ln (| \sec (y) + \tan (y) |)$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \tan (\frac{π}{6}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 2.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Schritt 2.2.3

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Schritt 2.2.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Schritt 2.2.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |) - \ln (| 1 |)$

Schritt 2.2.6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.3.1.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.1.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.3

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $\sqrt{3}$ .

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{| \frac{3 \sqrt{3}}{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.4.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Schritt 2.3.1.5

$\sqrt{3}$ ist ungefähr $1.7320508$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{| 1 |})$

Schritt 2.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\ln (\frac{\sqrt{3}}{1})$

Schritt 2.3.3

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\ln (\sqrt{3})$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\ln (\sqrt{3})$

Dezimalform:

$0.54930614 \dots$