Analysis Beispiele

$\int_{0}^{t^{10}} \sqrt[5]{u} d u$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{u}$ als $u^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\int_{0}^{t^{10}} u^{\frac{1}{5}} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{5}}$ nach $u$ gleich $\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}]_{0}^{t^{10}}$

Schritt 3

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 3.1

Berechne $\frac{5}{6} u^{\frac{6}{5}}$ bei $t^{10}$ und $0$ .

$(\frac{5}{6} {(t^{10})}^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{10})}^{\frac{6}{5}}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} t^{10 (\frac{6}{5})} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5}{6} t^{5 (2) \frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{6} t^{5 \cdot 2 \frac{6}{5}} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{6} t^{2 \cdot 6} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}$

Schritt 3.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0^{6}$

Schritt 3.2.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{5}{6} t^{12} - \frac{5}{6} \cdot 0$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{6} t^{12} + 0 (\frac{5}{6})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} t^{12} + 0$

Schritt 3.2.8

Addiere $\frac{5}{6} t^{12}$ und $0$ .

$\frac{5}{6} t^{12}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{5}{6}$ und $t^{12}$ .

$\frac{5 t^{12}}{6}$