Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (x) d x$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{2} (x)$ in $- 1 + \sec^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d x + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$- x]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $- x]_{0}^{\frac{π}{4}}$ und $\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$- x + \tan (x)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- x + \tan (x)$ bei $\frac{π}{4}$ und $0$ .

$(- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0))$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0))$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $0$ und $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0)$

Schritt 5.3.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 - 0$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1 + 0$

Schritt 5.3.4

Addiere $- \frac{π}{4} + 1$ und $0$ .

$- \frac{π}{4} + 1$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{π}{4} + 1$

Dezimalform:

$0.21460183 \dots$