Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{5} (2 x) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x$ ein.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = 2 x$ ein.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\sin^{5} (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{5} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Faktorisiere $\sin^{4} (u_{1})$ aus.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ als Potenz um.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Schreibe $\sin^{2} (u_{1})$ in $1 - \cos^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 7

Sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Schritt 7.1.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Schritt 7.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = \cos (u_{1})$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 7.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 7.4

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = \cos (u_{1})$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 7.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 7.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 7.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{0} - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

Schritt 9

Multipliziere ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ aus.

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Schritt 9.1

Schreibe ${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ als $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ um.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.5

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

Schritt 9.6

Bewege ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.7

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.11

Mutltipliziere ${u_{2}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

Schritt 9.13

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 9.14

Subtrahiere ${u_{2}}^{2}$ von $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Schritt 9.15

Stelle $- 2 {u_{2}}^{2}$ und ${u_{2}}^{4}$ um.

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 9.16

Bewege $1$ .

$\frac{1}{2} (- \int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

Schritt 10

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (- (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{4}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und ${u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Schritt 13

Da $- 2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Schritt 14

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Schritt 15

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} d u_{2}))$

Schritt 16

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0}) + u_{2}]_{1}^{0}))$

Schritt 17

Kombiniere $\frac{{u_{2}}^{5}}{5}]_{1}^{0}$ und $u_{2}]_{1}^{0}$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Schritt 18

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 18.1

Berechne $\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + u_{2}$ bei $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3}]_{1}^{0})))$

Schritt 18.2

Berechne $\frac{{u_{2}}^{3}}{3}$ bei $0$ und $1$ .

$\frac{1}{2} (- ((\frac{0^{5}}{5} + 0) - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3

Vereinfache.

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Schritt 18.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 18.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 (0)}{5} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (- (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (- (\frac{0}{1} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (- (0 + 0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1^{5}}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + 1) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- (0 - (\frac{1}{5} + \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{1 + 5}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.7

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{1}{2} (- (0 - \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.8

Subtrahiere $\frac{6}{5}$ von $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 18.3.10.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.3.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1^{3}}{3})))$

Schritt 18.3.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (0 - \frac{1}{3})))$

Schritt 18.3.12

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $0$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} - 2 (- \frac{1}{3})))$

Schritt 18.3.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + 2 (\frac{1}{3})))$

Schritt 18.3.14

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} + \frac{2}{3}))$

Schritt 18.3.15

Um $- \frac{6}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}))$

Schritt 18.3.16

Um $\frac{2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Schritt 18.3.17

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 18.3.17.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Schritt 18.3.17.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}))$

Schritt 18.3.17.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}))$

Schritt 18.3.17.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} (- (- \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}))$

Schritt 18.3.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (- \frac{- 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15})$

Schritt 18.3.19

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.3.19.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 2 \cdot 5}{15})$

Schritt 18.3.19.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 18 + 10}{15})$

Schritt 18.3.19.3

Addiere $- 18$ und $10$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{- 8}{15})$

Schritt 18.3.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (- - \frac{8}{15})$

Schritt 18.3.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 (\frac{8}{15}))$

Schritt 18.3.22

Mutltipliziere $\frac{8}{15}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{15}$

Schritt 18.3.23

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8}{2 \cdot 15}$

Schritt 18.3.24

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{8}{30}$

Schritt 18.3.25

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $30$ .

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Schritt 18.3.25.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 (4)}{30}$

Schritt 18.3.25.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 18.3.25.2.1

Faktorisiere $2$ aus $30$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Schritt 18.3.25.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 15}$

Schritt 18.3.25.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{15}$

Schritt 19

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{15}$

Dezimalform:

$0.2\overline{6}$