Analysis Beispiele

$\int x {(x + 6)}^{8} d x$

Schritt 1

Sei $u = x + 6$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x + 6$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u - 6) u^{8} d u$

Schritt 2

Multipliziere $(u - 6) u^{8}$ .

$\int u \cdot u^{8} - 6 u^{8} d u$

Schritt 3

Multipliziere $u$ mit $u^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{8}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{8} - 6 u^{8} d u$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 8} - 6 u^{8} d u$

Schritt 3.2

Addiere $1$ und $8$ .

$\int u^{9} - 6 u^{8} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{9} d u + \int - 6 u^{8} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C + \int - 6 u^{8} d u$

Schritt 6

Da $- 6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$\frac{1}{10} u^{10} + C - 6 \int u^{8} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{8}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C - 6 (\frac{1}{9} u^{9} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{10} u^{10} - 6 (\frac{1}{9}) u^{9} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{- 6}{9} u^{9} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $9$ .

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{3 (- 2)}{9} u^{9} + C$

Schritt 8.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 3} u^{9} + C$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 3} u^{9} + C$

Schritt 8.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{10} u^{10} + \frac{- 2}{3} u^{9} + C$

Schritt 8.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{10} u^{10} - \frac{2}{3} u^{9} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x + 6$ .

$\frac{1}{10} {(x + 6)}^{10} - \frac{2}{3} {(x + 6)}^{9} + C$