Analysis Beispiele

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x + 8$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x + 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x + 8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{11}$ .

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{u}{3}$ mit $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Schritt 3.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $11$ .

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

Schritt 3.7

Kombiniere $- \frac{8}{3}$ und $\frac{u^{11}}{3}$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{12}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{13} u^{13}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

Schritt 8

Da $\frac{8}{9}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{8}{9}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{11}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{13}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $13$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

Schritt 10.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{12}$ mit $\frac{8}{9}$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

Schritt 10.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $108$ .

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Schritt 10.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

Schritt 10.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $108$ heraus.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Schritt 10.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

Schritt 10.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 8$ .

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$