Analysis Beispiele

Berechne das Integral Integral über t natürlicher Logarithmus von t+1 nach t
Schritt 1
Integriere partiell durch Anwendung der Formel , mit und .
Schritt 2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Kombiniere und .
Schritt 2.2
Kombiniere und .
Schritt 3
Da konstant bezüglich ist, ziehe aus dem Integral.
Schritt 4
Kombiniere und .
Schritt 5
Dividiere durch .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert .
+++
Schritt 5.2
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
+++
Schritt 5.3
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
+++
++
Schritt 5.4
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
+++
--
Schritt 5.5
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
+++
--
-
Schritt 5.6
Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.
+++
--
-+
Schritt 5.7
Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend durch den Term höchster Ordnung im Divisor .
-
+++
--
-+
Schritt 5.8
Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.
-
+++
--
-+
--
Schritt 5.9
Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in
-
+++
--
-+
++
Schritt 5.10
Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.
-
+++
--
-+
++
+
Schritt 5.11
Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.
Schritt 6
Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.
Schritt 7
Gemäß der Potenzregel ist das Integral von nach gleich .
Schritt 8
Wende die Konstantenregel an.
Schritt 9
Sei . Dann ist . Forme um unter Vewendung von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1
Es sei . Ermittle .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 9.1.1
Differenziere .
Schritt 9.1.2
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 9.1.3
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 9.1.4
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 9.1.5
Addiere und .
Schritt 9.2
Schreibe die Aufgabe mithlfe von und neu.
Schritt 10
Das Integral von nach ist .
Schritt 11
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.1
Vereinfache.
Schritt 11.2
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.1
Kombiniere und .
Schritt 11.2.2
Kombiniere und .
Schritt 11.2.3
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 11.2.4
Kombiniere und .
Schritt 11.2.5
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 11.2.6
Kombiniere und .
Schritt 11.2.7
Mutltipliziere mit .
Schritt 11.2.8
Kombiniere und .
Schritt 11.2.9
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.9.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.9.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 11.2.9.2.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 11.2.9.2.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 11.2.9.2.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 11.2.9.2.4
Dividiere durch .
Schritt 12
Ersetze alle durch .
Schritt 13
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 13.2
Kombiniere und .
Schritt 13.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 13.4
Bringe auf die linke Seite von .
Schritt 13.5
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 13.6
Multipliziere .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 13.6.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 13.6.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 14
Stelle die Terme um.