Analysis Beispiele

$\int x (90 x^{2} + 30 x) d x$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (90 x^{2}) + x (30 x) d x$

Schritt 1.2

Stelle $x$ und $90$ um.

$\int 90 \cdot x \cdot x^{2} + x (30 x) d x$

Schritt 1.3

Stelle $x$ und $30$ um.

$\int 90 \cdot x \cdot x^{2} + 30 \cdot x \cdot x d x$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 90 (x^{1} x^{2}) + 30 x \cdot x d x$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 90 x^{1 + 2} + 30 x \cdot x d x$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $2$ .

$\int 90 x^{3} + 30 x \cdot x d x$

Schritt 1.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 90 x^{3} + 30 (x^{1} x) d x$

Schritt 1.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 90 x^{3} + 30 (x^{1} x^{1}) d x$

Schritt 1.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 90 x^{3} + 30 x^{1 + 1} d x$

Schritt 1.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 90 x^{3} + 30 x^{2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 90 x^{3} d x + \int 30 x^{2} d x$

Schritt 3

Da $90$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $90$ aus dem Integral.

$90 \int x^{3} d x + \int 30 x^{2} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$90 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 30 x^{2} d x$

Schritt 5

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $30$ aus dem Integral.

$90 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 30 \int x^{2} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$90 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 30 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$90 (\frac{1}{4}) x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $90$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{90}{4} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $90$ und $4$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $90$ heraus.

$\frac{2 (45)}{4} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 45}{2 \cdot 2} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{45}{2} x^{4} + 30 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $30$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{30}{3} x^{3} + C$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $3$ .

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Schritt 7.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{3 \cdot 10}{3} x^{3} + C$

Schritt 7.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{3 \cdot 10}{3 (1)} x^{3} + C$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Schritt 7.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{45}{2} x^{4} + \frac{10}{1} x^{3} + C$

Schritt 7.2.4.2.4

Dividiere $10$ durch $1$ .

$\frac{45}{2} x^{4} + 10 x^{3} + C$