Analysis Beispiele

$16 p \int_{0}^{5} {(1 - \frac{x}{5})}^{2} d x$

Schritt 1

Sei $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Dann ist $d u = - \frac{1}{5} d x$ , folglich $- 5 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 - \frac{x}{5}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 - \frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{x}{5}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{x}{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{5} \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - \frac{1}{5}$

Schritt 1.1.4

Subtrahiere $\frac{1}{5}$ von $0$ .

$- \frac{1}{5}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 - \frac{x}{5}$ ein.

$u_{lower} = 1 - \frac{0}{5}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 - \frac{x}{5}$ ein.

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = 1 - \frac{5}{5}$

Schritt 1.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{1}{5}} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{1}{5}} d u$

Schritt 2.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{5}$ zu dividieren.

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} (1 \cdot 5) d u$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - u^{2} \cdot 5 d u$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$16 p \int_{1}^{0} - 5 u^{2} d u$

Schritt 3

Da $- 5$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$16 p (- 5 \int_{1}^{0} u^{2} d u)$

Schritt 4

Mutltipliziere $- 5$ mit $16$ .

$- 80 p \int_{1}^{0} u^{2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 80 p \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $u^{3}$ .

$- 80 p \frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}$

Schritt 7

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1

Berechne $\frac{u^{3}}{3}$ bei $0$ und $1$ .

$- 80 p ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 80 p (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$- 80 p (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 80 p (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 80 p (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$- 80 p (0 - \frac{1^{3}}{3})$

Schritt 7.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 80 p (0 - \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.4

Subtrahiere $\frac{1}{3}$ von $0$ .

$- 80 p (- \frac{1}{3})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 80$ .

$80 p \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.6

Kombiniere $80$ und $\frac{1}{3}$ .

$p \frac{80}{3}$

Schritt 7.2.7

Kombiniere $p$ und $\frac{80}{3}$ .

$\frac{p \cdot 80}{3}$

Schritt 7.2.8

Bringe $80$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Schritt 8

Stelle die Terme um.

$\frac{80}{3} p$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{80}{3}$ und $p$ .

$\frac{80 p}{3}$

Schritt 10