Analysis Beispiele

$\frac{10}{3 \int {(1 + 0.2 t)}^{\frac{3}{2}} d t}$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 0.2 t$ . Dann ist $d u = 0.2 d t$ , folglich $\frac{1}{0.2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 0.2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $1 + 0.2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 0.2 t]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 0.2 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Schritt 1.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [0.2 t]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $0.2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.2 t$ nach $t$ gleich $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 0.2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 0.2 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $0.2$ mit $1$ .

$0 + 0.2$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $0.2$ .

$0.2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{10}{3 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{0.2} d u}$

Schritt 2

Kombiniere $u^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{0.2}$ .

$\frac{10}{3 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{0.2} d u}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{0.2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.2}$ aus dem Integral.

$\frac{10}{3 (\frac{1}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)}$

Schritt 4

Kombiniere $\frac{1}{0.2}$ und $3$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} \int u^{\frac{3}{2}} d u}$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{10}{\frac{3}{0.2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)}$ als $\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$ um.

$\frac{10}{15 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{10}{15 \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Schritt 6.2.2

Kombiniere $15$ und $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{10}{\frac{15 (2 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$\frac{10}{\frac{30 u^{\frac{5}{2}}}{5}} + C$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $5$ aus $30 u^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5}} + C$

Schritt 6.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 (1)}} + C$

Schritt 6.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10}{\frac{5 (6 u^{\frac{5}{2}})}{5 \cdot 1}} + C$

Schritt 6.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10}{\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{1}} + C$

Schritt 6.2.5.4

Dividiere $6 u^{\frac{5}{2}}$ durch $1$ .

$\frac{10}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Schritt 6.2.6

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 (5)}{6 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Schritt 6.2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 u^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (5)}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Schritt 6.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (3 u^{\frac{5}{2}})} + C$

Schritt 6.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{3 u^{\frac{5}{2}}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $1 + 0.2 t$ .

$\frac{5}{3 {(1 + 0.2 t)}^{\frac{5}{2}}} + C$