Analysis Beispiele

$\int z \sqrt{4 z^{2} - 5} d z$

Schritt 1

Sei $u = 4 z^{2} - 5$ . Dann ist $d u = 8 z d z$ , folglich $\frac{1}{8} d u = z d z$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 z^{2} - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d z}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 z^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d z} [4 z^{2} - 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 z^{2} - 5$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$ .

$\frac{d}{d z} [4 z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d z} [4 z^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $4 z^{2}$ nach $z$ gleich $4 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- 5]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 z) + \frac{d}{d z} [- 5]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 z + \frac{d}{d z} [- 5]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $z$ gleich $0$ .

$8 z + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8 z$ und $0$ .

$8 z$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int \sqrt{u} d u$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Schreibe $\frac{1}{8} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ als $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{2}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $24$ .

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{24} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $4 z^{2} - 5$ .

$\frac{1}{12} {(4 z^{2} - 5)}^{\frac{3}{2}} + C$