Analysis Beispiele

$\int x \arcsin (x^{2}) d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \arcsin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Kombiniere $\arcsin (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arcsin (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \arcsin (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = \arcsin (u_{1})$ und $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Schritt 5

Kombiniere $u_{1}$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

Schritt 6

Sei $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , folglich $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $u_{1}$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $- {u_{1}}^{2}$ nach $u_{1}$ gleich $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Schritt 6.1.4

Subtrahiere $2 u_{1}$ von $0$ .

$- 2 u_{1}$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 2} d u_{2})$

Schritt 7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

Schritt 11

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{2}}$ als ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

Schritt 11.2

Bringe ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2})$

Schritt 11.3

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 11.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2})$

Schritt 11.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2})$

Schritt 11.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2})$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ nach $u_{2}$ gleich $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$

Schritt 13

Schreibe $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$ als $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$ um.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 14

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 14.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {u_{1}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 14.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {(x^{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 15.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{2 \cdot 2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 15.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 15.3

Multipliziere $\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2})$ .

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Schritt 15.3.1

Kombiniere $\arcsin (x^{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2} x^{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 15.3.2

Kombiniere $\frac{\arcsin (x^{2})}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 15.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{{(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Schritt 15.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Schritt 15.6

Stelle die Faktoren in $\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$