Analysis Beispiele

$\int x \arctan (7 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \arctan (7 x)$ und $d v = x$ .

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $\arctan (7 x)$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

Schritt 4.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Schritt 5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Schritt 6.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

Schritt 7

Dividiere $x^{2}$ durch $49 x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 7.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $49 x^{2}$ .

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

Schritt 7.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

Schritt 7.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

Schritt 11

Da $\frac{1}{49}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{49}$ aus dem Integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

Schritt 12

Stelle $49 x^{2}$ und $1$ um.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

Schritt 13

Faktorisiere $49$ aus $1 + 49 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Faktorisiere $49$ aus $1$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

Schritt 13.2

Faktorisiere $49$ aus $49 x^{2}$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

Schritt 13.3

Faktorisiere $49$ aus $49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

Schritt 14

Da $\frac{1}{49}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{49}$ aus dem Integral.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

Schritt 15

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Mutltipliziere $\frac{1}{49}$ mit $\frac{1}{49}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $49$ mit $49$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

Schritt 16

Schreibe $\frac{1}{49}$ als ${(\frac{1}{7})}^{2}$ um.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

Schritt 17

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Schritt 18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{7}$ zu dividieren.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Schritt 18.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

Schritt 18.1.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{7}$ zu dividieren.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

Schritt 18.1.4

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

Schritt 18.2

Vereinfache.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

Schritt 18.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.1

Um $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 18.3.2

Kombiniere $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 18.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

Schritt 18.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{7}{2}$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.3.7.2.4

Dividiere $- 7$ durch $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.2.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.4.2.2

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

Schritt 18.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ in den Zähler.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Schritt 18.4.3.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

Schritt 18.4.3.3

Faktorisiere $7$ aus $343$ heraus.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Schritt 18.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

Schritt 18.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Schritt 18.4.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Schritt 18.4.4.2

Multipliziere $- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Schritt 18.4.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{\arctan (7 x)}{49}$ mit $1$ .

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

Schritt 19

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$