Analysis Beispiele

$\int x \sin (\frac{1}{6} x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (\frac{1}{6} x)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{1}{6} x)) - \int - 6 \cos (\frac{1}{6} x) d x$

Schritt 2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 6$ aus dem Integral.

$x (- 6 \cos (\frac{1}{6} x)) - (- 6 \int \cos (\frac{1}{6} x) d x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) - (- 6 \int \cos (\frac{1}{6} x) d x)$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) - (- 6 \int \cos (\frac{x}{6}) d x)$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (\frac{x}{6}) d x$

Schritt 4

Sei $u = \frac{x}{6}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{6} d x$ , folglich $6 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = \frac{x}{6}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$\frac{1}{6}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{6}$ zu dividieren.

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) (1 \cdot 6) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int \cos (u) \cdot 6 d u$

Schritt 5.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 \int 6 \cos (u) d u$

Schritt 6

Da $6$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 6 (6 \int \cos (u) d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 \int \cos (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 (\sin (u) + C)$

Schritt 9

Schreibe $x (- 6 \cos (\frac{x}{6})) + 36 (\sin (u) + C)$ als $- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (u) + C$ um.

$- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (u) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{6}$ .

$- 6 x \cos (\frac{x}{6}) + 36 \sin (\frac{x}{6}) + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- 6 x \cos (\frac{1}{6} x) + 36 \sin (\frac{1}{6} x) + C$