Analysis Beispiele

$f (x) = e^{- x} \ln (x)$ , $(1, 0)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 0$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{- x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.3

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.5

Differenziere.

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Schritt 1.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 1.5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 1.5.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{e^{- x}}{x} + \ln (x) (- e^{- x})$

Schritt 1.5.3.4

Stelle die Terme um.

$- e^{- x} \ln (x) + \frac{e^{- x}}{x}$

Schritt 1.6

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- (1)}}{1}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- e^{- (1)} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Schritt 1.7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- e^{- 1} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Schritt 1.7.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} \ln (1) + \frac{e^{- 1}}{1}$

Schritt 1.7.2.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$- \frac{1}{e} \cdot 0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Schritt 1.7.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{e} \cdot 0$ .

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Schritt 1.7.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 \frac{1}{e} + \frac{e^{- 1}}{1}$

Schritt 1.7.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{e^{- 1}}{1}$

Schritt 1.7.2.5

Bringe $e^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Schritt 1.7.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $\frac{1}{e}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 0)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (0) = \frac{1}{e} \cdot (x - (1))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y + 0 = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $y$ und $0$ .

$y = \frac{1}{e} \cdot (x - 1)$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\frac{1}{e} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{e} x + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{1}{e} \cdot - 1$

Schritt 2.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{e}$ und $- 1$ .

$y = \frac{x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{e} - \frac{1}{e}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{e} x - \frac{1}{e}$

Schritt 3