Analysis Beispiele

$\int t \sec^{2} (3 t) d t$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = \sec^{2} (3 t)$ .

$t (\frac{1}{3} \tan (3 t)) - \int \frac{1}{3} \tan (3 t) d t$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\tan (3 t)$ .

$t \frac{\tan (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \tan (3 t) d t$

Schritt 2.2

Kombiniere $t$ und $\frac{\tan (3 t)}{3}$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \tan (3 t) d t$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \tan (3 t) d t)$

Schritt 4

Sei $u = 3 t$ . Dann ist $d u = 3 d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 3 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Schritt 4.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \tan (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\tan (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\tan (u)}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \tan (u) d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \tan (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Schritt 9

Schreibe $\frac{t \tan (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ als $\frac{1}{3} t \tan (3 t) - \frac{1}{9} \ln (| \sec (u) |) + C$ um.

$\frac{1}{3} t \tan (3 t) - \frac{1}{9} \ln (| \sec (u) |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $3 t$ .

$\frac{1}{3} t \tan (3 t) - \frac{1}{9} \ln (| \sec (3 t) |) + C$