Analysis Beispiele

$\int \sin (8 x - 4) d x$

Schritt 1

Sei $u = 8 x - 4$ . Dann ist $d u = 8 d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 8 x - 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $8 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [8 x - 4]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $8$ und $0$ .

$8$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

$\frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{8} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $8 x - 4$ .

$- \frac{\cos (8 x - 4)}{8} + C$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{8} \cos (8 x - 4) + C$