Analysis Beispiele

$\int_{a}^{b} 3 e^{2 t} d t$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int_{a}^{b} e^{2 t} d t$

Schritt 2

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{lower} = 2 a$

Schritt 2.3

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = 2 t$ ein.

$u_{upper} = 2 b$

Schritt 2.4

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 2 a$

$u_{upper} = 2 b$

Schritt 2.5

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$3 \int_{2 a}^{2 b} e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 \int_{2 a}^{2 b} \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $3$ .

$\frac{3}{2} \int_{2 a}^{2 b} e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} e^{u}]_{2 a}^{2 b}$

Schritt 7

Berechne $e^{u}$ bei $2 b$ und $2 a$ .

$\frac{3}{2} (e^{2 b} - e^{2 a})$