Analysis Beispiele

$\int arccsc (x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = arccsc (x)$ und $d v = 1$ .

$arccsc (x) x - \int x (- \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 1}}$ .

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$arccsc (x) x - \int - \frac{x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$arccsc (x) x - \int - \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$arccsc (x) x - - \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$arccsc (x) x + 1 \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$ mit $1$ .

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Schritt 5

Sei $x = \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Schritt 6.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 6.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (t)$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $\tan (t)$ aus $\sec (t) \tan (t)$ heraus.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$arccsc (x) x + \int \frac{1}{\tan (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$arccsc (x) x + \int \sec (t) d t$

Schritt 7

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (x)$ .

$arccsc (x) x + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + C$