Analysis Beispiele

$y = {(3 x + 4)}^{2} {(2 x - 5)}^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{2} {(2 x - 5)}^{3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe ${(3 x + 4)}^{2}$ als $(3 x + 4) (3 x + 4)$ um.

$\frac{d}{d x} [(3 x + 4) (3 x + 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.2

Multipliziere $(3 x + 4) (3 x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x + 4) + 4 (3 x + 4)) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x + 4)) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4 (3 x) + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 4 \cdot 4) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 12 x + 16) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.3.2

Addiere $12 x$ und $12 x$ .

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{3}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 9 x^{2} + 24 x + 16$ und $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 2 x - 5$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 5$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 5$ .

$(9 x^{2} + 24 x + 16) (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $9 x^{2} + 24 x + 16$ .

$3 \cdot (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.6

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.7.1

Addiere $2$ und $0$ .

$3 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2 + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 24 x + 16]$

Schritt 3.6.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 24 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 3.6.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 3.6.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 3.6.11

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 3.6.12

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 3.6.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 3.6.14

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 3.6.15

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24 + 0)$

Schritt 3.6.16

Addiere $18 x + 24$ und $0$ .

$6 (9 x^{2} + 24 x + 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 (9 x^{2}) + 6 (24 x) + 6 \cdot 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$(54 x^{2} + 6 (24 x) + 6 \cdot 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $24$ mit $6$ .

$(54 x^{2} + 144 x + 6 \cdot 16) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

Schritt 3.7.4

Mutltipliziere $6$ mit $16$ .

$(54 x^{2} + 144 x + 96) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

Schritt 3.7.5

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus $(54 x^{2} + 144 x + 96) {(2 x - 5)}^{2} + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$ heraus.

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Schritt 3.7.5.1

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus $(54 x^{2} + 144 x + 96) {(2 x - 5)}^{2}$ heraus.

${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96) + {(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$

Schritt 3.7.5.2

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus ${(2 x - 5)}^{3} (18 x + 24)$ heraus.

${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96) + {(2 x - 5)}^{2} ((2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.5.3

Faktorisiere ${(2 x - 5)}^{2}$ aus ${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96) + {(2 x - 5)}^{2} ((2 x - 5) (18 x + 24))$ heraus.

${(2 x - 5)}^{2} (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.6

Schreibe ${(2 x - 5)}^{2}$ als $(2 x - 5) (2 x - 5)$ um.

$(2 x - 5) (2 x - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.7

Multipliziere $(2 x - 5) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.7.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.8.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.8.1.2.1

Bewege $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.8.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + (2 x - 5) (18 x + 24))$

Schritt 3.7.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.9.1

Multipliziere $(2 x - 5) (18 x + 24)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.7.9.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 x (18 x + 24) - 5 (18 x + 24))$

Schritt 3.7.9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x + 24))$

Schritt 3.7.9.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

Schritt 3.7.9.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.7.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.9.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

Schritt 3.7.9.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.9.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

Schritt 3.7.9.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

Schritt 3.7.9.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 2 x \cdot 24 - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

Schritt 3.7.9.2.1.4

Mutltipliziere $24$ mit $2$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 48 x - 5 (18 x) - 5 \cdot 24)$

Schritt 3.7.9.2.1.5

Mutltipliziere $18$ mit $- 5$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 48 x - 90 x - 5 \cdot 24)$

Schritt 3.7.9.2.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $24$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} + 48 x - 90 x - 120)$

Schritt 3.7.9.2.2

Subtrahiere $90 x$ von $48 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (54 x^{2} + 144 x + 96 + 36 x^{2} - 42 x - 120)$

Schritt 3.7.10

Addiere $54 x^{2}$ und $36 x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 144 x + 96 - 42 x - 120)$

Schritt 3.7.11

Subtrahiere $42 x$ von $144 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 102 x + 96 - 120)$

Schritt 3.7.12

Subtrahiere $120$ von $96$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 102 x - 24)$

Schritt 3.7.13

Multipliziere $(4 x^{2} - 20 x + 25) (90 x^{2} + 102 x - 24)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x^{2} (90 x^{2}) + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.14.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 90 x^{2} x^{2} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.14.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$4 \cdot 90 (x^{2} x^{2}) + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \cdot 90 x^{2 + 2} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4 \cdot 90 x^{4} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.3

Mutltipliziere $4$ mit $90$ .

$360 x^{4} + 4 x^{2} (102 x) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.14.5.1

Bewege $x$ .

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.7.14.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$360 x^{4} + 4 \cdot 102 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.6

Mutltipliziere $4$ mit $102$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 24 - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.7

Mutltipliziere $- 24$ mit $4$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 x (90 x^{2}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 x \cdot x^{2} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.9

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.14.9.1

Bewege $x^{2}$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 (x^{2} x) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.9.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.7.14.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 (x^{2} x^{1}) - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 x^{2 + 1} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.9.3

Addiere $2$ und $1$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 20 \cdot 90 x^{3} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.10

Mutltipliziere $- 20$ mit $90$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 x (102 x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 \cdot 102 x \cdot x - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.12

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.14.12.1

Bewege $x$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 \cdot 102 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 20 \cdot 102 x^{2} - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.13

Mutltipliziere $- 20$ mit $102$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} - 20 x \cdot - 24 + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.14

Mutltipliziere $- 24$ mit $- 20$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 25 (90 x^{2}) + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.15

Mutltipliziere $90$ mit $25$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 25 (102 x) + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.16

Mutltipliziere $102$ mit $25$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x + 25 \cdot - 24$

Schritt 3.7.14.17

Mutltipliziere $25$ mit $- 24$ .

$360 x^{4} + 408 x^{3} - 96 x^{2} - 1800 x^{3} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x - 600$

Schritt 3.7.15

Subtrahiere $1800 x^{3}$ von $408 x^{3}$ .

$360 x^{4} - 1392 x^{3} - 96 x^{2} - 2040 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x - 600$

Schritt 3.7.16

Subtrahiere $2040 x^{2}$ von $- 96 x^{2}$ .

$360 x^{4} - 1392 x^{3} - 2136 x^{2} + 480 x + 2250 x^{2} + 2550 x - 600$

Schritt 3.7.17

Addiere $- 2136 x^{2}$ und $2250 x^{2}$ .

$360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 480 x + 2550 x - 600$

Schritt 3.7.18

Addiere $480 x$ und $2550 x$ .

$360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 3030 x - 600$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 3030 x - 600$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 360 x^{4} - 1392 x^{3} + 114 x^{2} + 3030 x - 600$